定积分高考(定积分求值问题汇总)
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查,属于中低档题,其试题难度考查相对较小,重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理,注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.
使用情景:一般函数类型
解题步骤:
第一步 求出函数 的原函数 ;
第二步 利用微积分基本定理,把端点的值代入原函数求差;
第三步 得出结论 .
例1 的值为( )
A. B. C. D.
答案D
解析
点评一个函数的导数是唯一的,而其原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本 求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.
使用情景:被积函数的原函数不易求出
解题步骤:
第一步 画出被积函数的图像;
第二步 作出直线计算函数所围成的图形;
第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
例2 计算定积分 .
解:利用导数的几何意义知,该定积分表示的是一个圆心在原点,半径为 的上半个圆围成的面积,结合图象知其值为:
例3 如图所示,抛物线 与 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在 轴上.已知工业用地每单位面积价值为 元( ),其它的三个边角地块每单位面积价值 元.
(1)求等待开垦土地的面积;
(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.
解
(1)由于曲线 与 轴的交点坐标为 和 ,
所以所求面积 ;
故等待开垦的土地面积为 .
(2)设点 的坐标为 ,则点 其中
土地总价值
,
由 得,
或者 (舍去)
并且当 时, ,
当 是,
故当 时, 取得最大值.
即当点 的坐标为 时,整个地块的总价值最大.
如图,求f(x)与g(x)、x=a、x=b围城的面积
将上述三条性质推广:
(1)若f(x)≥g(x),x∈[a,b],∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=g(x)围成的曲边梯形的面积;
(2)若f(x)≤g(x),x∈[a,b],∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=g(x)围成的曲边梯形的面积的相反数;
(3)若f(x)-g(x)在区间[a,b]上有正有负时,∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义为曲线y=f(x)在y=g(x)上方部分之下的曲边梯形的面积取正号,曲线y=f(x)在y=g(x)下方部分之上的曲边梯形的面积取负号,构成的代数和。
因此,如果令F(x)=f(x)-g(x),则,∫(a→b)F(x)dx表示的是各段面积的代数和,而不是所求的面积。
如图,利用上述性质,所求面积为:
∫(a→c)[f(x)-g(x)]dx+∫(c→d)[g(x)-f(x)]dx+∫(d→b)[f(x)-g(x)]dx
=∫(a→c)[f(x)-g(x)]dx - ∫(c→d)[f(x)-g(x)]dx+∫(d→b)[f(x)-g(x)]dx
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